Principios matemáticos y lógicos

La matemática es una ciencia esencialmente deductiva. Opera partiendo de principios formales, no necesariamente reales, que son enunciados básicos y primeros que formulan ciertas características de los objetos matemáticos; suelen llamarse axiomas o postulados: la matemática clásica consideraba que los axiomas eran principios verdaderos, mientras que los postulados no eran conocidos como verdaderos ni falsos, de modo que se asumían como hipótesis de trabajo. La matemática moderna parece haber eliminado esta distinción, dando al término axiomas el sentido de un simple postulado: los principios matemáticos ahora no se formulan según un criterio de evidencia material (por inducción a partir de la realidad), sino por simple evidencia formal (en el sentido de no-contradicción). Pero ya veremos que no pueden eliminarse en matemáticas algunos axiomas en el sentido clásico.

Algunos principios matemáticos son consecuencia de libres construcciones ideales, no fruto de la inducción, y por tanto no son ni verdaderos ni falsos. Al moverse la matemática en la abstracción cuantitativa, se desentiende de la realidad extramental, sobre todo en las elaboraciones sumamente abstractas de los dos últimos siglos. Posee, por eso, un amplio margen de libertad para construir definiciones (conceptos de razón), y para proponer axiomas, juicios en que entran construcciones matemáticas (por ejemplo, espacios de n dimensiones), que no se contradicen entre sí (por ejemplo, la recta de la geometría euclidiana no es la misma que la recta de las geometrías de Riemann y Lobatchewski). El objeto de la matemática es un ente de razón (si no puede existir en la realidad) o bien un ente posible (en el caso de que pueda existir) que a veces encontrará un refrendo en la realidad física.

Los principios matemáticos no son arbitrarios, pues se sujetan a la no-contradicción, y se han elaborado partiendo de una abstracción originaria de la cantidad real. La matemática no es una ciencia puramente convencional, pues como mínimo se somete a la ley de la no-contradicción aplicada al ámbito cuantitativo. Ninguno de sus axiomas puede negarse sin contradicción, aunque sí pueden negarse las definiciones, cambiando el concepto o el sentido del nombre (por ejemplo, definir la recta de un modo u otro). Por otra parte, la idea de cantidad -número y dimensión- no es una invención humana, sino que se ha tomado abstractivamente de la multiplicidad de entes y de la extensión corpórea, fundamentos últimos de la ciencia matemática.

Existen principios matemáticos reales, leyes de la cantidad como tal, obtenidos por inducción, inmediatamente evidentes, y que están implícitos en todo razonamiento matemático. Por ejemplo, «dos cantidades iguales a una tercera son iguales entre sí», «el todo es mayor que la parte», son enunciados que se aplican a las cantidades reales, y ni siquiera de un modo aproximado, sino exacto. No tiene importancia que estos principios sean muy pocos, y que no aparezcan explícitamente en los sistemas axiomáticos (pueden estar presupuestos). 

Lógicamente los principios convencionales a que antes nos referíamos no sólo son más numerosos, sino que pueden ser indefinidos; pero todos ellos se basan en estos principios reales, que la filosofía de la metafísica examina a fondo.

Algo semejante ocurre con los principios de la lógica simbólica, aunque los signos lógicos se refieren no ya a la cantidad, sino a las segundas intenciones. La lógica formal se fundamenta en el principio de no-contradicción, ley lógica y principio real del ente.

El método axiomático. Las ciencias deductivas, como la matemática y la lógica formal, se construyen actualmente según el método axiomático. En lógica, este método se basa en la construcción de una serie de enunciados formales -compuestos de signos variables, cuyo significado material se deja de lado por abstracción-, de modo que casi todos ellos se deducen de unos pocos, tomados como axiomas indemostrables.

Las relaciones entre los signos se llaman sintácticas. El cuerpo de todos esos enunciados constituye un Sistema lógico deductivo formal, una Teoría deductiva, o un Lenguaje formalizado y axiomatizado. Un sistema formal consta esencialmente de: a) signos primitivos; b) signos introducidos por definición; c) reglas de formación, para establecer expresiones con sentido entre los signos; d) axiomas, o enunciados indemostrables; e) reglas de inferencia, que establecen el modo en que se pueden usar los axiomas para efectuar deducciones; 0 pruebas, o demostraciones en las que, partiendo de los axiomas y aplicando las reglas, se obtienen nuevos enunciados, que se consideran demostrados (teoremas).

La relación de los signos con su significado se llama relación semántica. Una vez que se estudia la estructura interna de un sistema formal, se puede considerar su aplicación a ciertos objetos externos al sistema, a través de relaciones semánticas. Con la referencia semántica de los signos a un universo de objetos reales o posibles (universo llamado modelo), se dice que un sistema es interpretado.

Desde el punto de vista sintáctico, un sistema deductivo aspira a tener las siguientes propiedades; a) consistencia, o no contradicción, condición básica sin la cual el sistema no existe; b) completitud, o capacidad de los axiomas de demostrar todas las fórmulas válidas en su dominio, aunque a veces esto no es posible; c) independencia de los axiomas, de manera que uno no pueda ser deducido de otro; d) decidibilidad de las fórmulas, cuando existe un mecanismo automático para demostrarlas o refutarlas, lo cual muchas veces no se consigue.

Hay procedimientos que demuestran, en algunos casos, la existencia o no de estas propiedades para determinados niveles de los cálculos lógico-matemáticos. Estos estudios reflexivos de un sistema formal sobre sus propias características, se denominan metalógicos (o también metateoréticos). La metalógica comprende pues una sintaxis, una semántica, y también una pragmática, cuando se considera la relación de los signos con los individuos que los emplean.

Ya desde los años 30, con algunos importantes teoremas del matemático K. Gódel, se han demostrado los límites del formalismo axiomático. Los sistemas lógico-formales no son autosuficientes: no pueden autodemostrar su consistencia con sus propios medios, y en ciertos niveles son incompletos e indecidibles. Están como gobernados desde fuera por la mente humana, que intuye más allá de las fórmulas demostrables.

Como sucede en las matemáticas, el convencionalismo de los sistemas axiomáticos es limitado, ya que están regulados por la no-contradicción que, aunque no comparezca en los axiomas formales (o aunque pueda deducirse de un teorema), constituye su principio real lógico-metafísico. Además, su utilidad es del mismo alcance que la lógica formal del raciocinio: aseguran la coherencia, mas no la verdad material, y son aplicables sólo a las ciencias deductivas. Por eso la fundamentación formal de una ciencia no ha de confundirse con su fundamentación real o metafísica.

(Tomado de "Lógica", de J.J Sanguineti)